Тема 12. Определенный интеграл

Задачка о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Характеристики определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла способом подмены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с нескончаемыми пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций ([1 либо 6, § 11.1 – 11.8, 11.10]; [2 либо 7, § 11.1 – 11.4], либо [3, § 11.1 – 11.8, 11.11 – 11.14], либо Тема 12. Определенный интеграл [5, §7.1 – 7.8, 7.11 – 7.14]).

Рассматривая задачку о нахождении площади криволинейной трапеции, необходимо верно представлять, что поначалу выводится формула площади этой фигуры, а потом проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Ньютона – Лейбница ([1, либо 6, либо 3, формула (11.15)]) – основной формуле интегрального исчисления – удается свести вычисление Тема 12. Определенный интеграл этого интеграла к нахождению приращения хоть какой первообразной для данной функции на отрезке интегрирования. Следует направить внимание на достаточное условие интегрируемости функции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя способ подстановки при вычислении определенного интеграла, необходимо изменять пределы интегрирования после введения новейшей переменной и вычислять интеграл, не ворачиваясь к Тема 12. Определенный интеграл старенькой переменной ([1 либо 6, примеры 11.3, 11.18] либо [3, примеры 11.3, 11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно отыскивать личное приращение первообразной uv в процессе решения, не откладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1 либо 6, либо 3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с нескончаемыми пределами возникает как обобщение понятия определенного интеграла для варианта, когда Тема 12. Определенный интеграл один из пределов интегрирования либо оба не ограничены, т.е. когда подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков: либо . Если при всем этом первообразная известна (является простой функцией), то сходимость несобственного интеграла устанавливается по определению. Если первообразная неведома (неопределенный интеграл не "берется" в простых функциях), то сходимость Тема 12. Определенный интеграл устанавливается косвенным методом при помощи признаков сходимости. Последнее выходит за рамки программки.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует держать в голове, что "простейшей" фигурой, площадь которой выражается определенным интегралом Тема 12. Определенный интеграл, является криволинейная трапеция. Во всех других случаях фигуру необходимо представить в виде сумм либо разностей криволинейных трапеций. Решение задачки на вычисление площади криволинейной трапеции всегда начинают с построения чертежа и при всем этом смотрят за тем, чтоб граница фигуры содержала все данные в условии полосы и точки. (Уяснить Тема 12. Определенный интеграл произнесенное можно, разобрав примеры, в каких рассчитываются площади разных плоских фигур) (см. ниже, раздел «Задачи для самоподготовки»).

Формула трапеций и другие формулы для приближенного вычисления определенных интегралов употребляются, когда соответственная первообразная не является простой функцией ("неберущийся" неопределенный интеграл) либо когда интеграл представляет собой непознаваемую функцию (для составления таблиц значений таких Тема 12. Определенный интеграл функций).

Вопросы для самопроверки


tema-14-aldegidi-karbonovie-kisloti.html
tema-14-arhitektura-rossii-xviii-veka-russkoe-barokko-i-klassicizm-1-chas.html
tema-14-byudzhetnaya-sistema-rossijskoj-federacii-ok-1-pk-1.html